多项式除法

2020-06-29


多项式的「元」具备如实数一般的运算性质,但是多项式本身的运算性质却像正整数:两个多项式相除,会得到商式并产生余式。类似于正整数的除法原理,若多项式 $$P$$、$$K$$、$$Q$$、$$R$$ 满足 $$\mathrm{deg}~R <\mathrm{deg}~K$$ 且 $$P=QK+R$$,例如 $$x^2=(x+1)(x-1)+1$$ 则它们也可以写成多项式除法形式:

$$P\div{K}=Q…R$$

例如 $$x^2\div(x-1)=(x+1)…1$$。我们称 $$P$$ 为被除式、$$K$$ 为除式、$$Q$$ 为商式、$$R$$ 为余式,而 $$P=QK+R$$ 和 $$P\div{K}=Q…R$$的等价关係,称为多项式的除法原理

类似多项式的加、减、乘可以写成直式,多项式相除也有直式,称为长除法;我们以 $$x^2$$ 除以 $$x-1$$ 为例示範如下:

多项式除法

在得到了红色的商式与绿色的余式之后,我们可以将答案记成

$$x^2\div(x-1)=(x+1)…1$$

同样地,我们也能使用分离係数法,以 $$6x^3-x+3$$ 除以 $$2x-1$$ 为例示範如下:

多项式除法

我们一样可以将除法记录为 $$\displaystyle(6x^3-x+3)\div(2x-1)=(3x^2+{\frac{3}{2}}x+\frac{1}{4})…\frac{15}{4}$$。

根据除法原理,如果 $$P\div{K}=Q…R$$ 则 $$P-R={QK}$$。

例如 $$\displaystyle 6x^3-x+3-{\frac{15}{4}}=(3x^2+{\frac{3}{2}}x+\frac{1}{4})(2x-1)$$。

如果余式是 $$0$$,亦即 $$P\div{K}=Q$$ 或 $$P=QK$$ ,则 $$Q$$ 和 $$K$$ 都称为 $$P$$ 的因式

例如 $$\displaystyle 3x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$ 和 $$2x-1$$ 都是 $$\displaystyle 6x^3-x-\frac{3}{4}$$ 的因式。

显然,如果 $$P=QK$$ 则 $$P\div{K}=Q$$,这是多项式的乘除互逆性质。

将多项式 $$P$$ 写成因式相乘的形式,如 $$P=QK$$,称为 $$P$$ 的因式分解。因为非零实数也就是零次多项式,所以多项式总有(无聊的)因式分解,例如 $$\displaystyle x^2+1=\frac{1}{5}(5x^2+5)$$。

同理,因式分解并不唯一,例如

$$\displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)=(2x+2)(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})$$。

多项式除法中,若除式正好为 $$x-c$$ 的形式,则有一种更简便的方法可以做除法,称为综合除法。让我们观察 $$(x^3-2x^2-x-4)\div(x-3)$$,在将之以分离係数法表示后,可以发现有许多数字都在重覆,在下方用相同颜色标记:

多项式除法

如我们所知,余数存在于长除法的最后一层,而粉红色与绿色的部分其实也表现出了商式,因此我们可以省略商式,也省略长除法中重覆的数字,如下:

多项式除法

此时红色为商式,蓝色为余式。将长除法中第二层、第三层的数字全部合併上来,可以进一步缩减直式的高度,如下:

多项式除法

由于综合除法仅适用于$$x-c$$ 的形式,$$x$$ 项的係数 $$1$$ 也可以省略。综合所有的省略和合併,我们便能写成以下形式:

多项式除法

其中红色的部分是商式,蓝色是余式(此时的余式必为一个实数)。我们又注意到,在以上计算过程中,总是重複地做 $$a-(-c)b$$ 形式的计算,例如第二行做 $$(-2)-(-3)$$,第三行做 $$(-1)-(-3)$$,第四行做 $$(-4)-(-6)$$。既然如此,何不做 $$a+cb$$ 就好了?

重新整理以上的发现,就是综合除法,示範如下。我们先列出被除式的係数(降幂排列,缺项补零),例如将 $$x^3-2x^2-x-4$$ 的係数列为 $$1~~-2~~-1~~-4$$;如果除式是 $$x-c$$,将 $$c$$(而不是 $$-c$$)写到式子的右侧,例如当除式是 $$x-3$$,写 $$3$$ 在右侧。画一条折线隔开:

多项式除法

将首项係数抄到下层:

多项式除法

乘以右边的 $$3$$,写在第二行的中层;将上、中层的两数相加写到下层:

多项式除法 再乘以右边的 $$3$$,写在第三行的中层;将上、中层的两数相加写到下层:

多项式除法

再乘以右边的3,写在第四行的中层;将上、中层的两数相加写到下层:

多项式除法

则下层的最后一个数就是余式,而其他数则是降幂排列的商式係数。所以商式是 $$x^2+x+2$$,余式是 $$2$$。

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