多项式函数图形的平移(Translations of A G

2020-06-29


摘要: 本文说明将多项式函数 \(f(x)\) 的图形沿平行 \(x\) 轴方向移动 \(h\) 单位,沿平行 \(y\) 轴方向移动 \(k\) 单位,则新图形是多项式函数 \(f(x-h)+k\) 的图形。

国中数学中已学过二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 的图形是抛物线,并且可利用配方法将函数写成 \(f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\),得抛物线的顶点坐标为 \(V(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

反过来,若给定二次项係数 \(a\) 及顶点坐标 \(V(x_0,y_0)\),就可以立刻写出符合条件的二次函数 \(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\)。例如二次函数 \(f(x)\) 的首项係数为 \(\frac{1}{2}\),顶点坐标为 \((-1,2)\),则 \(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\)。

接下来,若我们将二次函数的图形平移(大小、开口方向均保持不变),则仅要知道平移后的顶点坐标,即可得到平移后的函数。

以符号表示,将 \(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\) 沿平行 \(x\) 轴方向移动 \(h\) 单位(\(h>0\) 时表示向右平移,\(h<0\) 时表示向左平移),沿平行 \(y\) 轴方向移动 \(k\) 单位(\(k>0\) 时表示向上平移,\(k<0\) 时表示向下平移),则新的顶点为 \((x_0+h,y_0+k)\),也就是说平移后的二次函数为 \(g(x)=a(x-x_0-h)^2+y_0+k\)。

由此我们还可以得知,任两个首项係数相同的二次函数,其图形经过平移后可完全重叠。

多项式函数图形的平移(Translations of A G

在二次函数中,我们可以藉助顶点平移后的新坐标,轻易地写出新的二次函数。然而,在一般多项式函数中,该怎幺求出图形平移后的新函数呢?仿照二次函数顶点平移的想法,我们也可以得到很棒的结论。

若点 \(P(x_0,y_0)\) 是函数 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) 图形上的任一点,
则会满足 \(y_0=a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0\)。

今将 \(f(x)\) 的图形沿平行 \(x\) 轴方向移动 \(h\) 单位,沿平行 \(y\) 轴方向移动 \(k\) 单位,

那点 \(P\) 就会平移至点 \(P'(x_0+h,y_0+k)\),

此时点 \(P’\) 会在函数 \(g(x)=a_n(x-h)^n+a_{n-1}(x-h)^{n-1}+\cdots a_1(x-h)+a_0+k\) 的图形上(将 \(P’\) 点坐标代入 \(g(x)\) 中验证即知),

也就是说,函数 \(f(x)\) 图形上的任一点在平移后,都会落在函数 \(g(x)\) 的图形上。

反过来,若点 \(Q(\alpha,\beta)\) 在函数 \(g(x)\) 的图形上,即

\(\beta=a_n(\alpha-h)^n+a_{n-1}(\alpha-h)^{n-1}+\cdots+a_1(\alpha-h)+a_0+k\)

\(\Rightarrow\beta-k=a_n(\alpha-h)^n+a_{n-1}(\alpha-h)^{n-1}+\cdots+a_1(\alpha-h)+a_0\)

\(\Rightarrow (\alpha-h,\beta-k)\) 满足 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)

\(\Rightarrow\) 点 \((\alpha-h,\beta-k)\) 在函数 \(f(x)\) 的图形上。

换句话说,函数 \(g(x)\) 的图形上的点,都可以在函数 \(f(x)\) 图形上找一点平移而得到。

因此,函数 \(g(x)\) 可表示成 \(f(x-h)+k\),因此,我们得到下面的结论:

将多项式函数 \(f(x)\) 的图形沿平行 \(x\) 轴方向移动 \(h\) 单位,沿平行 \(y\) 轴方向移动 \(k\) 单位,
则新图形是多项式函数 \(f(x-h)+k\) 的图形。

例如:将 \(f(x)=x^3+1\) 的图形右移 \(1\) 单位、下移 \(2\) 单位,则新图形为函数 \(g(x)=(x-1)^3-1\) 的图形。

多项式函数图形的平移(Translations of A G

事实上,上述的结论可还以推广到一般函数都成立,不仅限于多项式函数,有兴趣的读者可模仿上述的推论方式,自行推导看看。

参考资料: