多项式函数图形的巨观与微观(Global and Local

2020-06-29

摘要:阐明多项式函数的图形,巨观而言由首项决定,微观而言由其泰勒形式的低次项决定。

所谓「巨观」是指当函数 $$y=f(x)$$ 的自变数在一个颇大的範围 $$-A\leq x\leq A$$ 之中的函数图形,其中 $$A$$ 是一个「颇大」的正数。相对地,所谓「微观」是指在某个给定的自变数 $$c$$「附近」的函数图形,例如自变数在 $$c-\varepsilon\leq x\leq c+\varepsilon$$ 範围之中,其中 $$\varepsilon$$(读作epsilon)是数学文件中习惯用来表示「微小正数」的符号。

    巨观

    先看巨观。例如 $$f(x)=-x^{3}+5x^{2}-8x+4$$ 在 $$x\leq x\leq3$$ 範围内的图形如下,它看起来有些「曲折」。

    多项式函数图形的巨观与微观(Global and Local

    但是,如果在 $$-5\leq x\leq5$$ 範围内绘图,则因为 $$y$$ 的範围在 $$\pm 125$$ 之间,在一块合适的区域内绘图,实务上已经不能用一致的单位长,而必须採用 zoom-out 的手法表现,如下图。此时,图形看起来就像 $$y=-x^3$$ 的图形,向右稍微平移了一点。

    多项式函数图形的巨观与微观(Global and Local

    如果再扩大绘图的範围,例如取 $$-40\leq z\leq 40$$ ,则 $$y$$ 的範围在 $$\pm{64000}$$ 之间,zoom-out 的效果就像是「站得远的看」,如下图。此时连向右的一点平移也不见了,图形看起来就像 $$y=-x^3$$ 。

    一般而言,若 $$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_0$$ 是一个 $$n$$ 次多项式函数,则

    $$\displaystyle f(x)=a_nx^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac{1}{x}+\cdots+\frac{a_1}{a_n}\frac{1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{a_n}\frac{1}{x^n}\right)$$

    当  $$|x|$$  很大时,括号里的数值几乎是 $$1$$,所以 $$f(x)\approx a_{n}x^n$$ ,可见 $$y=f(x)$$ 的函数图形几乎就是幂函数 $$y=a_{n}x^n$$ 的图形。这也就是说,巨观而言,多项式函数图形大约是由其首项决定的幂函数图形。

    微观

    再看微观。假设我们在 $$x=c$$ 附近观察函数图形,则先将多项式改写成以 $$c$$ 为参考点的泰勒形式,而且此时以升幂排列较方便:

    $$f(x)=f(c)+c_1(x-c)+c_2(x-c)^2+\cdots+c_n(x-c)^n$$

    其中 $$C_n\neq 0$$ 而 $$c_{0}=f(c)$$ 。

    若在 $$c-\varepsilon\leq x\leq c+\varepsilon$$ 範围内观察函数图形,则因为 $$|x-c|\leq \varepsilon$$,当 $$c_1\neq 0$$ 时,

    $$\left|f(x)-(c_1(x-c)+c_0)\right|\le|c_2|\varepsilon^2+\cdots+|c_n|\varepsilon^n$$

    当 $$\varepsilon$$ 是一个微小的正数,不等式的右式是一个很小的数,可见 $$f(x)\approx c(x-c)+f(c)$$ ,因此 $$y=f(x)$$ 的函数图形几乎就是由泰勒多项式最低两项所决定的 $$y=c_1(x-c)+f(c)$$ 线型函数图形。

    继续以 $$f(x)=-x^{3}+5x^{2}-8x+4$$ 为例,若取 $$=1$$ ,则其升幂泰勒形式为

    $$f(x)=-(x-1)+2(x-1)^2-(x-1)^3$$

    因为 $$x=1$$ 恰为 $$y(x)=0$$ 的一根,所以常数项为 $$0$$。在此情况下,由泰勒多项式决定的线型函数是 $$y=1-x$$ 。取 $$\varepsilon =0.1$$,在 $$0.9\leq x\leq 1.1$$ 範围内的函数图形如以下的红色曲线,而上述线型函数是下图中的蓝色直线。很明显地,它们非常接近。

    多项式函数图形的巨观与微观(Global and Local

    以上範例也展示了「单根」的特徵:在单根的附近,函数图形就像一条与 $$x$$ 轴有交点的直线。

    但是,有可能 $$c_{1}=0$$ ,则微观而言函数图形就不再像一条直线。一般而言,令 $$c_k$$ 是除了常数项以外,使得 $$(x-c)^k$$ 之係数不为 $$0$$ 的最低次係数。它一定存在,因为至少 $$c_{n}\neq 0$$ 。在此情况下,微观而言,$$y=f(x)$$ 在 $$x=c$$ 附近的图形非常靠近 $$y=c_{k}(x-c)^{k}+f(c)$$ 的图形。

    接续前面的例子,若取 $$c=2$$ ,则其升幂泰勒多项式为

    $$f(x)=-(x-2)^2-(x-2)^3$$

    因为 $$x=2$$ 恰好是 $$f(x)=0$$ 的根,所以常数项是 $$0$$,而此时 $$c_1$$ 也恰好是 $$0$$。在此情况下,由泰勒多项式决定的二次函数为 $$y=-(x-2)^2$$ 。取 $$\varepsilon =0.25$$ ,在 $$1.75\leq x\leq 2.25$$ 範围内的函数图形如以下的红色曲线,而上述二次函数是下图中的蓝色曲线。很明显地,它们非常接近。

    多项式函数图形的巨观与微观(Global and Local

    事实上,这也就是 $$k$$ 重根的微观图形特色:当 $$x=c$$ 是 $$f(x)=0$$ 的 $$k$$ 重根时,

    $$f(c)=c_1=\cdots=c_{k-1}=0$$

    而 $$y=f(x)$$ 在此根附近的函数图形,就像平移的 $$k$$ 次幂函数 $$y=c_{k}(x-c)^k$$ 。如同以上的 $$x=2$$ 是一个二重根, $$y=f(x)$$ 在 $$x=2$$ 的图形大约是一个开口向下的抛物线。

    一般而言,当 $$c_{1}=0$$ 而 $$c_{2}\neq 0$$ ,则 $$y=f(x)$$ 在 $$x=c$$ 附近的函数图形就像一个以 $$(c , f(c))$$ 为顶点的抛物线 $$y=c_{2}(x-c)^{2}+f(c)$$ 。

    例如,前述的 $$f(x)$$ 以 $$c=\frac{3}{4}$$ 为参考点的泰勒多项式是

    $$\displaystyle f(x)=-\frac{4}{27}+(x-\frac{4}{3})^2-(x-\frac{4}{3})^3$$

    取 $$\varepsilon =\frac{1}{3}$$ 所做的图如下,红色是 $$y=f(x)$$ 在 $$x=\frac{4}{3}$$ 附近的图形,而蓝色是抛物线 $$y=(x-\frac{4}{3})^{2}-\frac{4}{27}$$ 的图形。多项式函数图形的巨观与微观(Global and Local

    由以上的範例可知,一般而言,当 $$c_{1}=0$$ 而 $$c_2 \neq 0$$,因为函数 $$y=f(x)$$ 在 $$x=c$$ 附近的函数图形就像一个开口向上或向下的抛物线,而 $$(c , f(c ))$$ 就是抛物线的顶点,所以在 $$x=c$$ 的附近,函数 $$f(x)$$ 在 $$x=c$$ 发生了局部的极大值或极小值 $$f(c)$$ 。当 $$c_{2} >0$$ 抛物线开口向上,所以 $$f(c)$$ 是局部的极小值,而当 $$c_{2}< 0$$ 则 $$f(c)$$ 是局部的极大值。

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    延伸阅读: