多项式方程式与代数基本定理(Polynomial equat

2020-06-29


一元一次方程式 $$ax+b=0,a\neq{0}$$ 之解为 $$x=\frac{-b}{a}$$,

一元二次方程式 $$ax^2+bx+c=0,a\neq{0}$$ 之解为 $$\displaystyle{x}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$,

这两者在国中数学中均已学过,也都作了不少练习。

那幺,三次以上又如何呢?$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$、$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$、$$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$$ 等等,到底有没有解?有没有公式解?这问题在数学史上是至为精彩的一章,从卡丹诺(Girolamo Cardano,1501~1576)与塔尔塔利亚(Nicolo Tartaglia,1500~1557)的恩怨情仇,到两个英年早逝的天才数学家:冲动决斗而身亡的伽罗瓦(Evariste Galois,1811~1832)与贫病交迫的阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802~1829),有兴趣的读者上网搜寻相关资料阅读。

形如 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$ 的方程式,因其等号的左式就是一个 $$n$$ 次多项式,故称为「多项式方程式」,也常常称为「一元 $$n$$ 次方程式」。阿贝尔已证明:存在有一个五次的多项式方程式没有公式解,因此,要求五次以上的多项式方程式之解,就不是一件容易的事了。

不过,换一个角度看问题!如果我们只问是否有解,而不必非要解出不可的话,那幺,伟大的数学家高斯(Johann Carl Friedrich Gauss,1777~1855)在1799年(时年22岁)所证明的所谓的「代数基本定理」,就具有划时代的意义了:

任一个 $$n$$ 次複係数多项式方程式 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0=0$$
($$n$$为正整数),至少有一个複数根。

籍由「代数基本定理」,再利用因式定理逐次提出一次因式,就可以将 $$n$$ 次複係数多项式方程式分解成 $$n$$ 个一次因式的乘积,作法如下:

(1) 设 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a+0=0$$ 是一个 $$n$$ 次複係数多项式方程式,由代数基本定理知其至少有一个複数根,令为 $$\alpha_1$$,即 $$f(\alpha_1)=0$$,由因式定理可知 $$x-\alpha_1$$ 是 $$f(x)$$ 的一次因式,则 $$f(x)=(x-\alpha_1)\cdot{Q_1(x)}$$ 其中 $$Q_1(x)$$ 是一个 $$n-1$$ 次複係数多项式。

(2) $$Q_1 (x)=0$$ 是一个 $$n-1$$ 次複係数多项式方程式,只要 $$n-1$$ 是正整数,那就可由代数基本定理知 $$Q_1 (x)= 0$$ 至少有一个複数根 $$\alpha_2$$,即 $$Q_1(\alpha_2)=0$$,再由因式定理知 $$x-\alpha_2$$ 是 $$Q_1(x)$$ 的一次因式,则 $$Q_1(x)=(x-\alpha_2)\cdot{Q_2} (x)$$,其中 $$Q_2 (x)$$ 是一个 $$n-2$$ 次複係数多项式。代回 $$f(x)$$,得 $$f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_1)\cdot{Q_2(x)}$$。

(3) 一再重覆上述步骤,最后 $$f(x)$$ 一定可以因式分解成

$$f(x)=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_1)\mbox{……}(x-\alpha_n)$$。

由上述过程可知,$$\alpha_1,\alpha_2,\mbox{…},\alpha_n$$ 就是 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 的 $$n$$ 个複数根。$$\alpha_1,\alpha_2,\mbox{…},\alpha_n$$ 这之间当然可能会有重複的,若我们将重複 $$k$$ 次的 $$k$$ 重根计做 $$k$$ 个根,那我们就可以得到一个重要的结论:

任一个 $$n$$ 次複係数多项式方程式 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0=0$$
($$n$$ 为正整数),恰有 $$n$$ 个複数根。

虽然我们知道一般而言,五次以上的多项式方程式没有公式解,但我们也知道 $$n$$ 次多项式方程式恰有 $$n$$ 个解,那幺,在哪些条件下可以容易的找到解,或是如何去逼近解(求解的近似值),这就是接下来的重要课程了。